Geben Sie zwei Brüche und eine Rechenart ein und sehen Sie das Ergebnis gekürzt, als gemischte Zahl und als Dezimalzahl — mit dem Rechenweg.
Ergebnis
Fast jeder Rechner wandelt einen Bruch zuerst in eine Dezimalzahl um, und eine binäre Dezimalzahl kann kein Sechstel festhalten. Addiert man 1/6 auf diesem Weg sechsmal, kommt 0,9999999999999999 heraus statt 1; tippt man 0,1 + 0,2, erscheint 0,30000000000000004. Der Fehler ist winzig und er ist echt, und in einem Werkzeug, dessen einziges Versprechen Exaktheit heißt, ist er alles. Dieser Rechner behält Zähler und Nenner von Anfang bis Ende als ganze Zahlen, also ergibt 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 exakt 1, ohne dass je eine Dezimalzahl beteiligt wäre.
Brüche zu addieren verlangt einen gemeinsamen Nenner, und zwar das kleinste gemeinsame Vielfache, nicht das Produkt. Bei 1/6 + 1/10 ergibt das Produkt der Nenner 60, was funktioniert und danach gekürzt werden muss; das kgV ist 30, die Summe also 5/30 + 3/30 = 8/30 = 4/15. Dasselbe Ergebnis mit kleineren Zahlen unterwegs — und das zählt, weil eine Kette von Additionen über multiplizierte Nenner schnell genug wächst, um den Bereich zu verlassen, in dem ganzzahliges Rechnen noch exakt ist.
Kürzen heißt durch den größten gemeinsamen Teiler dividieren. Bei 6/8 ist der ggT 2, der Bruch wird also zu 3/4. Einen unechten Bruch in eine gemischte Zahl zu überführen ist die andere Hälfte des Aufräumens: 7/3 sind 2 1/3, denn die Drei passt zweimal in die Sieben, ein Drittel bleibt übrig. Bei einem negativen Bruch gehört das Vorzeichen zur ganzen Zahl und sonst nirgendwohin — −7/3 sind −2 1/3, nicht −2 −1/3. In der zweiten Schreibweise liest es sich als Subtraktion, und der Wert stimmt nicht mehr.
Durch einen Bruch zu teilen heißt, mit seinem Kehrwert zu multiplizieren: 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6. Der Grund ist weniger rätselhaft, als die Regel klingt. Durch 4/5 zu teilen fragt, wie oft vier Fünftel in die Zahl passen, und da jedes Fünftel fünfmal pro Einheit hineinpasst und Sie Gruppen zu vier wollen, wird mit fünf vervielfacht und durch vier geteilt. Den zweiten Bruch umzudrehen ist genau dieser Satz als Rechnung.
Bringen Sie beide auf einen gemeinsamen Nenner, addieren Sie die Zähler und kürzen Sie. Bei 1/6 + 1/10 ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 6 und 10 gleich 30, die Summe also 5/30 + 3/30 = 8/30, gekürzt 4/15. Das Produkt der Nenner ergäbe 60 und denselben Wert, nur mit größeren Zahlen zum Kürzen.
Ein Dezimalrechner speichert 1/6 als nächstgelegenen binären Bruch, der leicht daneben liegt, und der Fehler summiert sich. Sechs davon addiert ergeben 0,9999999999999999. Hier wird in ganzen Zahlen gerechnet und es kommt 1 heraus. Wenn beide sich widersprechen, ist dies das exakte Ergebnis.
Teilen Sie den Zähler durch den Nenner: der Quotient ist die ganze Zahl, der Rest bleibt über dem ursprünglichen Nenner stehen. 7/3 ergibt 2 mit Rest 1, also 2 1/3. Bei einem negativen Bruch steht das Vorzeichen nur bei der ganzen Zahl: −7/3 sind −2 1/3.
Weil die Division durch 4/5 fragt, wie viele Vierergruppen aus Fünfteln in die Zahl passen. Jede Einheit enthält fünf Fünftel, also wird mit 5 multipliziert, und weil sie zu viert gebündelt werden, wird durch 4 geteilt — das ist genau die Multiplikation mit 5/4. Ausgerechnet: 2/3 ÷ 4/5 = 10/12 = 5/6.
Daran, dass Zähler und Nenner außer 1 keinen gemeinsamen Teiler mehr haben. Den größten gemeinsamen Teiler zu suchen und beide dadurch zu teilen erledigt das in einem Schritt: 6/8 hat den ggT 2 und wird zu 3/4, und weiter geht es nicht, weil 3 und 4 nichts gemeinsam haben.
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Löst den Dreisatz — auch den umgekehrten Fall, den die übliche Formel verfehlt.
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