Geben Sie drei bekannte Werte ein und wählen Sie, wie die Größen zusammenhängen — der vierte ergibt sich, mit Rechenweg.
Mehr Kilometer, mehr Kraftstoff. Drei Orangen kosten 2 €, neun also 6 €.
Ergebnis
Eine Proportion sagt, dass zwei Verhältnisse gleich sind: a verhält sich zu b wie c zu x. Über Kreuz multipliziert ergibt das a·x = b·c, also x = b·c ÷ a. Kosten drei Orangen 2 € und Sie möchten neun, dann verhält sich 3 zu 2 wie 9 zu x, und x = 2 × 9 ÷ 3 = 6 €. Dieselbe Form beantwortet die meisten Alltagsfragen zum Hochrechnen — 350 g Mehl reichen für vier Personen, zehn brauchen also 350 × 10 ÷ 4 = 875 g.
Diese Formel gilt nur, wenn die Größen gemeinsam wachsen. Viele laufen gegenläufig, und dann rechnet man anders: x = a·b ÷ c. Vier Arbeiter erledigen eine Arbeit in sechs Tagen, acht Arbeiter also in 4 × 6 ÷ 8 = 3 Tagen. Dieselben Zahlen in die proportionale Formel gesteckt ergäben zwölf Tage und die Behauptung, mehr Leute verzögerten die Arbeit. Das ist der häufigste Dreisatzfehler überhaupt, und rund die Hälfte der Schulbuchaufgaben ist antiproportional — deshalb ist die Richtung hier eine Wahl und keine Annahme.
Die Probe geht schnell: verdoppeln Sie eine Größe und schauen Sie, was mit der anderen geschieht. Die doppelte Strecke verlangt doppelt so viel Kraftstoff, Strecke und Kraftstoff sind also proportional. Doppelt so viele Arbeiter verlangen die halbe Zeit, Arbeiter und Zeit sind also antiproportional. Ein zweiter Test ist das Produkt: bei einem antiproportionalen Zusammenhang bleibt a·b konstant — vier Arbeiter mal sechs Tage sind 24 Arbeitstage, acht mal drei ebenso. Bleibt ein Produkt konstant statt eines Verhältnisses, ist der Dreisatz umgekehrt.
Der Dreisatz taucht weit außerhalb des Klassenzimmers auf. Ein Rezept auf mehr oder weniger Personen umrechnen, eine Karte lesen (im Maßstab 1:50.000 sind sieben Zentimeter auf dem Papier 3,5 km im Gelände), Geld zu einem bekannten Kurs umrechnen, die Dauer einer Fahrt bei anderer Geschwindigkeit bestimmen und Grundpreise zweier Packungsgrößen vergleichen sind alle dieselbe Rechnung mit drei Größen. Die Geschwindigkeit lohnt einen zweiten Blick, denn sie ist der antiproportionale Fall in Verkleidung: dieselbe Strecke, die bei 90 km/h zwei Stunden dauert, braucht bei 60 km/h 90 × 2 ÷ 60 = 3 Stunden.
Über Kreuz multiplizieren. Verhält sich a zu b wie c zu x, dann ist a·x = b·c, also x = b·c ÷ a. Für 3 zu 2 wie 9 zu x: x = 2 × 9 ÷ 3 = 6. Geteilt wird immer durch den Wert, der diagonal gegenüber der Unbekannten steht.
Beim proportionalen steigen und fallen beide Größen gemeinsam, und x = b·c ÷ a — mehr Kilometer, mehr Kraftstoff. Beim antiproportionalen steigt die eine, während die andere fällt, und x = a·b ÷ c — mehr Arbeiter, weniger Zeit. Die proportionale Formel auf eine antiproportionale Aufgabe anzuwenden ist der klassische Fehler, und das Ergebnis ist nicht leicht daneben, sondern verkehrt herum.
Verdoppeln Sie eine der Größen und fragen Sie, was mit der anderen geschehen müsste. Verdoppelt sie sich ebenfalls, ist der Zusammenhang proportional. Halbiert sie sich, ist er antiproportional. Auch das Produkt verrät es: vier Arbeiter über sechs Tage und acht Arbeiter über drei Tage ergeben dieselben 24 Arbeitstage, was den Fall als antiproportional ausweist.
Die Kreuzmultiplikation ist das Verfahren, die Proportion die Aussage. Schreibt man a/b = c/x und multipliziert jeden Zähler mit dem gegenüberliegenden Nenner, verschwinden beide Brüche und es bleibt a·x = b·c — einen Schritt vor der Antwort.
Ja. Die drei Größen dürfen beliebige Zahlen sein — Preise, Strecken, Gewichte. Sind alle drei ganzzahlig, wird das Ergebnis zusätzlich als exakter Bruch angezeigt, denn eine Proportion ist eine Gleichheit zweier Brüche, und das Ergebnis ist selten eine runde Zahl.
Brüche addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren — exakt, ohne Rundung.
Wie viel sind X% von Y — die alltägliche Prozentrechnung, Schritt für Schritt.
Einen Prozentsatz aufschlagen, oder die Steigerung zwischen zwei Zahlen finden.
Der Preis nach dem Rabatt — und der Preis davor, vom Schild ausgehend.
Trinkgeld, Gesamtbetrag und Anteil pro Person — samt dem Cent, der nicht aufgeht.
Wie weit zwei Werte auseinanderliegen, ohne einen davon als Bezug.