Saisissez trois valeurs connues et choisissez comment les grandeurs sont liées — la quatrième suit, avec le détail du calcul.
Plus de kilomètres, plus de carburant. Trois oranges coûtent 2 €, donc neuf en coûtent 6.
Réponse
Une proportion affirme que deux rapports sont égaux : a est à b comme c est à x. En multipliant en croix, a·x = b·c, donc x = b·c ÷ a. Si trois oranges coûtent 2 € et que vous en voulez neuf, alors 3 est à 2 comme 9 est à x, et x = 2 × 9 ÷ 3 = 6 €. La même forme répond à la plupart des questions d’échelle du quotidien — 350 g de farine suffisent pour quatre personnes, donc dix en demandent 350 × 10 ÷ 4 = 875 g.
Cette formule ne tient que si les grandeurs varient dans le même sens. Beaucoup varient en sens contraire, et le calcul change alors : x = a·b ÷ c. Quatre ouvriers achèvent un chantier en six jours, donc huit ouvriers l’achèvent en 4 × 6 ÷ 8 = 3 jours. Les mêmes nombres passés dans la formule directe donneraient douze jours et prétendraient qu’embaucher retarde le travail. C’est l’erreur la plus courante en règle de trois, et près de la moitié des exercices d’un manuel scolaire relèvent du cas inverse — d’où le choix explicite du sens ici, plutôt qu’une hypothèse.
Le test est rapide : doublez une grandeur et regardez ce qu’il advient de l’autre. Deux fois la distance demande deux fois le carburant, donc distance et carburant sont directement proportionnels. Deux fois plus d’ouvriers demandent moitié moins de temps, donc ouvriers et temps sont inversement proportionnels. Une autre vérification passe par le produit : dans une relation inverse, a·b reste constant — quatre ouvriers pendant six jours font 24 jours-ouvrier, et huit pendant trois aussi. Quand c’est un produit qui reste constant, et non un rapport, la proportion est inverse.
La règle de trois se rencontre bien loin de la salle de classe. Ajuster une recette pour plus ou moins de convives, lire une carte (à l’échelle 1:50 000, sept centimètres sur le papier valent 3,5 km sur le terrain), convertir une monnaie à un taux connu, estimer la durée d’un trajet à une autre vitesse et comparer le prix à l’unité entre deux conditionnements sont tous le même calcul à trois termes. La vitesse mérite un second regard, car c’est le cas inverse déguisé : la même distance parcourue en deux heures à 90 km/h demande 90 × 2 ÷ 60 = 3 heures à 60 km/h.
Multipliez en croix. Si a est à b comme c est à x, alors a·x = b·c, donc x = b·c ÷ a. Pour 3 est à 2 comme 9 est à x : x = 2 × 9 ÷ 3 = 6. La valeur par laquelle on divise est toujours celle qui se trouve en diagonale de l’inconnue.
Dans la directe, les deux grandeurs montent et descendent ensemble et x = b·c ÷ a — plus de kilomètres, plus de carburant. Dans l’inverse, l’une monte quand l’autre baisse et x = a·b ÷ c — plus d’ouvriers, moins de temps. Appliquer la formule directe à un problème inverse est l’erreur classique, et le résultat n’est pas légèrement décalé : il est à l’envers.
Doublez l’une des grandeurs et demandez-vous ce que l’autre devrait faire. Si elle double aussi, la relation est directe. Si elle est divisée par deux, elle est inverse. Le produit permet également de trancher : quatre ouvriers sur six jours et huit ouvriers sur trois jours donnent les mêmes 24 jours-ouvrier, ce qui classe le cas comme inverse.
La multiplication en croix est la méthode, la proportion est l’énoncé. Écrire a/b = c/x et multiplier chaque numérateur par le dénominateur opposé fait disparaître les deux fractions et laisse a·x = b·c, à un pas de la réponse.
Oui. Les trois termes peuvent être n’importe quels nombres — prix, distances, poids. Lorsque les trois sont entiers, la réponse s’affiche aussi sous forme de fraction exacte, puisqu’une proportion est une égalité entre deux fractions et que le résultat tombe rarement rond.
Additionner, soustraire, multiplier et diviser des fractions — exactement.
Combien font X% de Y — le pourcentage du quotidien, calcul détaillé.
Ajoutez un pourcentage à une valeur, ou trouvez la hausse entre deux nombres.
Le prix après remise — et le prix d’avant, à partir de l’étiquette.
Le pourboire, le total et la part de chacun — y compris le centime qui ne tombe pas juste.
L’écart entre deux valeurs, sans qu’aucune serve de référence.