Introduce tres valores conocidos y elige cómo se relacionan las magnitudes — el cuarto sale solo, con la cuenta a la vista.
Más kilómetros, más combustible. Tres naranjas cuestan 2 €, así que nueve cuestan 6 €.
Respuesta
Una proporción dice que dos razones son iguales: a es a b como c es a x. Multiplicando en cruz, a·x = b·c, luego x = b·c ÷ a. Si tres naranjas cuestan 2 € y quieres nueve, entonces 3 es a 2 como 9 es a x, y x = 2 × 9 ÷ 3 = 6 €. El mismo esquema responde a casi todas las preguntas de escala del día a día — 350 g de harina dan para cuatro personas, así que diez necesitan 350 × 10 ÷ 4 = 875 g.
Esa fórmula solo vale cuando las magnitudes van juntas. Muchas van al revés, y entonces la cuenta es otra: x = a·b ÷ c. Cuatro operarios terminan un trabajo en seis días, así que ocho lo terminan en 4 × 6 ÷ 8 = 3 días. Meter esos números en la fórmula directa daría doce días y afirmaría que contratar gente retrasa la obra. Es el error más habitual en regla de tres, y alrededor de la mitad de los ejercicios de un libro de texto son del tipo inverso — por eso aquí la dirección es una elección y no una suposición.
La prueba es rápida: dobla una magnitud y mira qué pasa con la otra. El doble de distancia pide el doble de combustible, así que distancia y combustible son directamente proporcionales. El doble de operarios pide la mitad de tiempo, así que operarios y tiempo son inversamente proporcionales. Otra forma de comprobarlo es el producto: en una relación inversa a·b se mantiene constante — cuatro operarios por seis días son 24 operarios-día, y ocho por tres también. Cuando lo que se mantiene es un producto, y no una razón, la proporción es inversa.
La regla de tres aparece muy lejos del aula. Ajustar una receta para más o menos comensales, leer un mapa (a escala 1:50.000, siete centímetros sobre el papel son 3,5 km sobre el terreno), cambiar moneda a una cotización conocida, calcular cuánto dura un viaje a otra velocidad y comparar el precio por unidad entre dos envases son todos la misma cuenta de tres términos. La velocidad merece un segundo vistazo, porque es el caso inverso disfrazado: recorrer la misma distancia a 90 km/h durante dos horas lleva 90 × 2 ÷ 60 = 3 horas a 60 km/h.
Multiplica en cruz. Si a es a b como c es a x, entonces a·x = b·c, luego x = b·c ÷ a. Para 3 es a 2 como 9 es a x: x = 2 × 9 ÷ 3 = 6. El valor entre el que se divide es siempre el que está en la diagonal opuesta a la incógnita.
En la directa las dos magnitudes suben y bajan juntas y x = b·c ÷ a — más kilómetros, más combustible. En la inversa una sube mientras la otra baja y x = a·b ÷ c — más operarios, menos tiempo. Usar la fórmula directa en un problema inverso es el error clásico, y lo que devuelve no es un poco distinto: es al revés.
Dobla una de las magnitudes y pregúntate qué debería pasarle a la otra. Si también se dobla, la relación es directa. Si se reduce a la mitad, es inversa. También puedes mirar el producto: cuatro operarios en seis días y ocho operarios en tres días dan los mismos 24 operarios-día, lo que marca el caso como inverso.
La multiplicación cruzada es el método, la proporción es el enunciado. Escribir a/b = c/x y multiplicar cada numerador por el denominador opuesto elimina las dos fracciones y deja a·x = b·c, que está a un paso de la respuesta.
Sí. Los tres términos pueden ser cualquier número — precios, distancias, pesos. Cuando los tres son enteros, la respuesta se muestra además como fracción exacta, ya que una proporción es una igualdad entre dos fracciones y el resultado a menudo no es un número redondo.
Sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones — exacto, sin redondear.
Cuánto es X% de Y — el porcentaje de cada día, con la cuenta a la vista.
Suma un porcentaje a un valor, o descubre el aumento entre dos números.
El precio con descuento — y el precio anterior, a partir de la etiqueta.
La propina, el total y cuánto paga cada uno — incluido el céntimo que no divide.
Cuánto se separan dos valores, sin que ninguno sea la referencia.